Pi greco, la pioggia e il casinò

Bob e Alice s’incontrano a pranzo in quanto entrambi hanno speso la mattinata dai rispettivi clienti nella stessa zona, in centro città. Bob insiste per un tavolo all’aperto ma all’improvviso inizia a piovere e devono riparare all’interno del ristorante. In attesa che allestiscano loro un altro tavolo ha luogo la seguente conversazione.

Bob – Certo oggi proprio non me ne va bene una…

Alice – Per giunta hai anche deciso di pranzare con me!

Bob [dopo aver speso qualche secondo ad afferrare la battuta] – Ma dai, ci conosciamo da una vita! Sai che due chiacchiere con te a pranzo sono sempre piacevoli. E poi normalmente nei pranzi o nelle cene devo sempre vendere qualcosa a qualcuno, in questo caso posso rilassarmi e stare a sentire i tuoi discorsi da nerd infarciti di parole da dodici sillabe.

Alice [ridendo] – E’ andata così male la mattinata? Così male che le mie chiacchiere sono un sollievo?

Bob [sbuffando] – Uffa, sei permalosa! No. Lo so, sei spiritosa. Vabbe’, sei permalosa e spiritosa… E comunque sì, non è andata bene, questo cliente è un osso duro.

Alice [in tono canzonatorio] – Mi immagino, magari vuole persino che in cambio del fatto che vi paga voi gli facciate il lavoro promesso…

Bob – Ritiro tutto, non sei spiritosa! Poi ci mancava pure ‘sta pioggia: quand’è che ci preparano il tavolo?

Alice – La pioggia ha i suoi aspetti positivi!

Bob – Già, farà pure bene all’agricoltura ma invece se piove sui miei capelli non è che ricrescano. Per giunta ho lasciato l’ombrello in sede, vabbe’ lo recupererò stasera. [dopo una breve pausa] Aspetta, che intendi dire con aspetti positivi?

Alice – Niente, solo mi è venuto in mente un esperimento che avrei sempre voluto fare, forse possiamo farlo in attesa che ci preparino il tavolo all’interno.

Bob – Un esperimento?

Alice – Sì, un metodo per calcolare il pi greco.

Bob [sbattendosi il palmo della mano sulla fronte e alzando gli occhi al cielo] – Con la fame che ho e l’umidità che ho preso tu pensi al pi greco? [breve pausa] Sarebbe tre e quattordici, vero?

Alice – Quelle sono solo le prime tre cifre: ce ne sono infinite altre appresso, ma insomma già con quelle si possono fare calcoli tutto sommato utili. Anzi, per secoli ce li hanno fatti, come costruire cupole sferiche e granai cilindrici e…

Bob [interrompendola] – Tipo l’area del cerchio e quella roba lì? Aspetta, aspetta, ho un flash, mamma mia che mi hai ricordato! “Raggio per raggio per tre e quattrodici!!!”.

Alice [ridendo] – Mi sembri HAL 9000 mentre viene disattivato in 2001 Odissea nello spazio!

Bob – Non penserai che io capisca di cosa stai parlando, vero?

Alice – No, ma forse posso spiegarti l’esperimento che vorrei provare a fare: il tavolo dove stavamo prima è rimasto sotto la pioggia, giusto?

Bob – Sì, meglio lui che noi!

Alice – Era un tavolo quadrato, mi pare.

Bob – Regolare, un tavolo per due, anche se io fossi il gestore ce ne inzepperei quattro, uno per lato.

Alice – Perfetto! Ora dovremmo tracciare un cerchio inscritto sul tavolo.

Bob – O mio Dio!

Alice – Sì, sì. Aspetta che ti mostro con un disegno.

Alice apre il suo taccuino e disegna un quadrato all’interno del quale inscrive un cerchio, in questo modo:

Alice – Vedi? Il cerchio è inscritto nel quadrato, cioè hanno il centro in comune e il cerchio tocca il quadrato esattamente in quattro punti, che poi sono i punti medi dei lati del quadrato. Supponiamo che il quadrato abbia lato di un metro per esempio.

Bob – Il tavolo dovrebbe avere più o meno quella dimensione.

Alice – Giusto. Quindi anche il diametro del cerchio è di un metro, e quindi il raggio del cerchio è di mezzo metro.

Bob – Quindi la sua area è di mezzo metro al quadrato per tre e quattordici, quindi… ehm… boh!

Alice – L’area è pi greco quarti, la quarta parte del pi greco. Invece l’area del quadrato è di un metro quadrato, dato che il suo lato è di un metro.

Bob – Poi una volta me la spieghi meglio ‘sta storia dei metri quadrati e cubi.

Alice – Un’altra volta: ma hai capito fin qua quello che ho detto?

Bob – Parli con uno che tutte le sere corregge i compiti di matematica della figlia!

Alice – Bene. Ora supponiamo che su questo quadrato siano cadute un bel po’ di gocce di pioggia, esattamente come sul tavolo là fuori. Ovviamente le gocce tendono a cadere uniformemente, insomma un po’ dappertutto, sostanzialmente a caso.

Bob – Pensa che riesco ad afferrare persino questa profonda verità.

Alice – Allora seguimi in quest’altro passaggio: supponiamo di contare le gocce di pioggia cadute in tutto il quadrato, diciamo che sono N. Poi contiamo quelle che sono cadute all’interno del cerchio, diciamo che sono C.

Bob – Quindi N è maggiore di C.

Alice [stupita] – Bravissimo! Ma siccome queste gocce cadono a caso, più ne cadono più la superficie del quadrato viene uniformemente ricoperta da esse. Questo implica che il rapporto fra N e C, al crescere del numero delle gocce, è sempre più prossimo al rapporto fra l’area del quadrato e quella del cerchio inscritto. Aspetta, te lo scrivo sul taccuino con una proporzione:

N : C = Area quadrato : Area cerchio

Bob – No, anche le proporzioni che m’hai ricordato!

Alice – Se ben ti ricordi, una proporzione è semplicemente l’uguaglianza di due rapporti: nel nostro caso N diviso C è uguale all’area del quadrato, che vale 1, diviso l’area del cerchio, che vale pi greco quarti. Quindi, ti scrivo anche questo sul taccuino:

N / C = 1 / (pi / 4) = 4 / pi

Alice – Da questo segue che pi si approssima come 4 volte C diviso N.

Bob – Cioè mi stai dicendo che il pi greco oltre al rapporto fra circonferenza e diametro è anche il rapporto fra quattro volte le gocce di pioggia nel cerchio diviso le gocce di pioggia in tutto il quadrato?

Alice – Non proprio: il pi greco è esattamente il rapporto fra circonferenza e diametro, ma approssimativamente si può calcolare con le gocce di pioggia: naturalmente più gocce ci sono e più preciso è il calcolo, insomma più piove e migliore è il risultato.

Bob – Quindi con un acquazzone potremmo calcolare un ottimo valore del pi greco?

Alice [ridendo] – Sì, forse…

Bob – Senti, le gocce di pioggia sul tavolo le vai a contare tu! Io già so quanto vale pi greco: tre e quattordici! Quindi tutta ‘sto ragionamento è inutile, ridondante.

Alice [sorridendo enigmatica] – Non ne sarei così sicuro!

Bob – Maledizione, ci casco sempre con te! Va bene, spiega l’arcano.

Alice – Questo metodo di calcolare il pi greco è sostanzialmente quello che si chiama “metodo di Monte Carlo”: si chiama così perché quando l’hanno inventato, durante la seconda guerra mondiale mentre costruivano la bomba atomica, per simulare la pioggia nel quadrato usavano i computer, facendogli generare numeri a caso per simulare le gocce. Questa casualità ha fatto pensare ai casinò e quindi a Monte Carlo.

Bob – All’epoca non c’era ancora Las Vegas?

Alice– E che ne so? Probabilmente sì, ma forse non era ancora la capitale del gioco d’azzardo… in ogni caso questo metodo è utilizzato per calcolare, tirando numeri a caso e con dei semplici calcoli, quantità non altrimenti calcolabili: nel caso del pi greco, mi secca darti ragione, ma in effetti è ridondante, ci sono metodi molto migliori. Ma in altri campi, specie in fisica ma un po’ in tutta la scienza e l’ingegneria, è l’unico modo di calcolare delle quantità altrimenti ignote. Pensa che l’hanno usato pure dentro AlphaGo, il programma che ha battuto il campione mondiale del gioco del go…

Bob – Go? Io conosco solo i go kart.

Alice [sospirando] – Lascia perdere. Ci hanno preparato il tavolo, meglio che ci mangiamo qualcosa.

Bob [strizzando l’occhio] – Già: potremmo calcolare il pi greco guardando quanto parmigiano cade sopra i rigatoni al ragù e quando fuori dal piatto.

Alice – Lascio a te l’emozione di questo calcolo: io prenderò delle verdure grigliate.